初めに
こんにちは！そして初めまして！ 動物バナシの管理人、ユーイチです。
今回は平均を求める問題を扱っていこうと思います。とはいえ、多であ単に平均を求めるだけの問題では易し過ぎるので、今回は平均を使って、いろいろな問題の解き方を覚えていこうと思います。
今回の狙いは、
- 平均と個数から１つの数量を求める。
- ２つ以上の平均から、１つの数量を求める。
- 「平均×個数＝数量の合計」の式を、「縦×横＝面積」の関係に置き換えて、面積図を書く。
- 面積図を用いて、いろいろな平均に関する問題を解く。
この４つになります。
それでは早速行ってみましょう。
今回使った問題をまとめてあるので、練習用に使ってみて下さい。
平均と個数から１つの数量を求める
問題１
里見さんのテストの得点は、国語が６９点、社会６５点、理科７０点でした。算数の得点はまだ分かっていません。これについて、次の問いに答えなさい。
①算数の得点力が７８点の時、４教科の平均点は何点ですか。
②４教科の平均点が６８.５点の時、算数の得点は何点ですか。
問① 解き方
いくつかの数量を同じ大きさになるように、ならした数量を「平均」と言います。平均は、数量の合計を個数で割って求めます。
数量の合計は４教科の得点の合計、個数は教科数の４なので、平均点は、
$ (69+65+70+78)÷4＝282÷4＝70.5$点
$ (69+65+70+78)＝$数量の合計 $ ÷４＝$個数
問② 解き方
数量の合計を「のべ」と言います。
『平均＝数量の合計（のべ）÷個数』より、数量の合計は、『数量の合計（のべ）＝平均×個数』の式で求められます。
４教科の平均点が６８.５点の時、４教科の得点の合計（のべ）は、
$ 68.5×4＝274$点
したがって、算数の得点は、
$274-(69+65+70)＝274-204＝70$点
2つ以上の平均から１つの数量を求める
問題２
たつや君は、国語、理科、算数、社会の４教科のテストを受けました。国語、算数、理科の平均点は７１点。算数、理科、社会の平均点は７２点。国語と社会の平均点は７１.５点でした。これについて、次の問いに答えなさい。
① 国語の得点は何点ですか。
② 4教科の平均点は何点ですか。
問① 解き方
国語、算数、理科、社会の得点をそれぞれ㋙点、㋚点、㋷点、㋛点として、平均点から合計点を求めます。それぞれ式に表すと、
①と②の式の内、算数と理科は共通しているので、合計点の差は、国語と社会の差です。
よって、国語と社会の得点の差は、
$ 216-213＝3$点
となります。
国語と社会の合計点は１４３点なので、和差算で考えて、国語の得点は、
$(143-3)÷2＝70$点
問② 解き方
４教科の得点の合計は、
$216+70＝286$点
となるので、４教科の平均点は、
$286÷4＝71.5$点
のべと平均
問題３
しんご君は、母と弟と妹の４院で電車に乗って、町へ買い物に行きました。息の電車では、席が一つしか空いていなかったので、４人で２０分ずつ座りました。町で父と合流し、帰りの電車に5人で乗ると、今度は席が３つだけ空いていたので、それぞれ同じ時間ずつ座って帰りました。息も帰りも電車に乗っていた時間は同じです。これについて、次の問いに答えなさい。
① 行きの電車に乗っていたのは何時間何分ですか。
② しんご君は帰りの電車で何分座りましたか。
問① 解き方
４人それぞれが２０分ずつ座ったので、電車に乗っていた時間は全部で、
$20×4＝80$分 → １時間２０分
問② 解き方
席が３つ空いていたので、「それぞれの席について８０分ずつ座れる」と考えることが出来ます。つまり座れるのべの時間は、
$80×3＝240$分です。
これを５人で同じ時間ずつ座るので、１人が座ることが出来る時間は、
$240÷5＝48$分
平均の面積図
問題４
男の子が何人かと女の子が２人います。男の子の身長の平均は１４５㎝で、女の子の身長の平均は１４３㎝です。これについて次の問いに答えなさい。
① 男の子が８人の時、男の子と女の子を合わせた全員の身長の平均は何cmですか。
② 男の子と女の子を合わせた全員の身長の平均が１４４㎝の時、男の子の人数は何人ですか。
問① 解き方
男の子と女の子を合わせた全員の身長の合計は、
$148×8+143×2＝1446㎝$
よって、男の子と女の子を合わせた全員の身長の平均は、
$1446÷(8+2)＝144.6㎝$
数が大きい時は、基準よりもどれだけ大きいかを考えて問う事も出来ます。これを「仮平均（かりへいきん）」と呼びます。
１４０ｃｍを基準とすると、男子の身長の平均は１４０㎝よりも５㎝高く、女子の身長の平均は１４０㎝よりも３㎝高くなっています。よって、全体の身長は１４０㎝よりも、
$(5+8+3×2)÷(8+2)＝4.6㎝$
高くなるので、全員の身長の平均は、
$10+4.6＝144.6㎝$となります。
問① 別解
数が大きい時は、基準よりもどれだけ大きいかを考えて解く事も出来ます。（仮平均）
１４０㎝を基準とすると、男子の伸長の平均は１４０㎝よりも５㎝高く、女子の平均は１４０㎝よりも３cm高くなっています。よって、全体の身長は１４０㎝よりも、
$(5×8+3×2)÷(8+2)＝4.6㎝$
４.6㎝高くなるので、全員の身長の平均は、
$140+4.6＝144.6㎝$
問② 解き方
男の子の人数が分からないので、合計を求める事が出来ません。そこで、ここでは面積図という考え方を使って解きます。
平均と個数の関係は、『平均×個数＝数量の合計』という式で表されます。
図のように、平均を縦の長さ、個数を横の長さとした長方形で考えると、数量の合計は長方形の面積で表されます。
$$\frac{平均}{たて}×\frac{個数}{横}＝\frac{数量の合計}{面積}$$
男の子の人数を▢人として、男の子の身長の合計と女の子の身長の合計を面積で表すと、図２のようになります。
したがって、この図形全体の面積は、男の子と女の子を合わせた全員の身長の合計になります。
この図形全体を、面積を変えずに図３のようにします。
この時に出来る長方形は、たてが全員の身長の平均、横が男の子と女の子の人数の合計を表しています。また図３の㋐の部分と㋑の部分の面積は等しくなります。よって、
$(144.5-143)×2＝3cm$・・・・㋑の面積（㋐の面積）
$3÷(145-144.5)＝6$人・・・・㋐の横の長さ
したがって男の子の人数は６人となります。
面積図を使って一部の平均を求める
問題５
大人が５人、子供が４人います。大人の年齢の平均と子供の年齢の平均の差は１８歳で、大人と子供を合わせた全員の年齢の平均は２２歳です。この時、大人の年齢の平均は何歳ですか。
問５ 解き方
平均を縦の長さ、人数を横の長さにして面積図をかくと、右のような図になります。
図１の図形全体の面積を変えずに図２のようにならします。この時に出来る長方形の縦の長さは、大人と子供を合わせた全員の年齢の平均を表しているので、縦が２２歳となります。
図２の㋐の部分と㋑の部分の面積は等しいので、㋐と㋒を合わせた部分の面積と、㋑と㋒を合わせた部分の面積も等しくなっています。ここで大人と子供の年齢の平均の差は、㋐と㋒を合わせた部分の長方形の縦で表されるので、㋐と㋒を合わせた部分の面積は、
$18×5＝90$
㋑と㋒を合わせた部分の縦は、
$▢＝90÷(5+4)＝10$歳
よって、
$22-10＝12$歳・・・・子供の年齢の平均
$12+18＝30$歳・・・・大人の年齢の平均
今回は平均の問題を行いました。これ以外にもたくさん問題を解いて、しっかり身に付けていきましょう。
それでは今回はここまで。 最後までお読みいただき ありがとうございました。
