中学受験において、「平方数」や「素数」を絡めた問題は頻出です。この記事では、平方数と素数を使った問題を中心に取り上げ、その解き方のコツをわかりやすく解説します。最後に練習問題も用意しているので、挑戦してみてください！
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1. 平方数と素数の基本復習
- 平方数: 同じ数を2回掛けた数。例：1×1=1, 2×2=4, 3×3=9。
- 素数: 1とその数自身以外では割り切れない数。例：2, 3, 5, 7, 11。
平方数と素数は、それぞれ異なる特徴を持っていますが、これらを組み合わせた問題が多く出題されます。
2. 平方数について深く知ろう
平方数には以下のような興味深い性質があります。
- 正方形と関係がある:
- 平方数は、正方形の面積を表すことができます。例えば、1×1の正方形の面積は1、2×2の正方形の面積は4です。このように、平方数は幾何学的なイメージと結びつけて覚えられます。
- 連続する平方数の差は奇数になる:
- 平方数の間隔は次第に大きくなります。例として、4-1=3、9-4=5、16-9=7。
- 平方数の下1桁の規則性:
- 平方数の下1桁は、0, 1, 4, 5, 6, 9のいずれかに限られます。この性質を覚えておくと、計算問題で役立つことがあります。
- 平方数は指数を含む因数が偶数になる:
- 例えば、36 = 2²×3² のように、平方数の因数の指数は常に偶数です。この性質は素因数分解と組み合わせて問題を解く際に重要です。
- 平方数の増加の速さ:
- 平方数は大きくなるにつれて、その差も大きくなります。例：10²=100, 20²=400, 30²=900。このように、平方数は数が大きくなると急激に増加します。
3. 平方数と素数を使った典型的な問題
例題1: 平方数と素数の見極め 次のうち、平方数でも素数でもない数をすべて選びなさい。
(1) 4 (2) 9 (3) 7 (4) 6
例題2: 平方数と素数の応用 ある数の平方が100以下で、かつ素数でもある数をすべて求めなさい。
4. 練習問題に挑戦！
以下の問題に取り組んでみましょう。
- 次の数のうち、平方数であるものを選びなさい。
- (1) 49, (2) 50, (3) 36, (4) 18
- 素数である数をすべて選びなさい。
- (1) 31, (2) 25, (3) 29, (4) 49
- ある数の平方が144です。その数を求めなさい。
- 平方数のうち、100以下で最大の素数を答えなさい。
- 平方数と素数の違いを説明し、それぞれの特徴を1つ挙げなさい。
- 平方数と素数を両方満たす数は存在するか？存在するならその数を挙げなさい。
5. 解答一覧
例題1の解答:
- 4は平方数。
- 9は平方数。
- 7は素数。
- 6は平方数でも素数でもない。
したがって、答えは(4)です。
例題2の解答: 平方数を列挙すると、1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100。 平方根が整数になるのは、2²=4, 3²=9, 5²=25, 7²=49。 これらの平方根で素数であるものは、2, 3, 5, 7。よって答えは、2, 3, 5, 7です。
練習問題の解答:
- 次の数のうち、平方数であるものを選びなさい。
- 解答: (1) 49, (3) 36
- 素数である数をすべて選びなさい。
- 解答: (1) 31, (3) 29
- ある数の平方が144です。その数を求めなさい。
- 解答: 12（12×12=144）
- 平方数のうち、100以下で最大の素数を答えなさい。
- 解答: 平方数自体は素数になりません。
- 平方数と素数の違いを説明し、それぞれの特徴を1つ挙げなさい。
- 解答: 平方数は同じ数を2回掛けた数で、正方形の面積を表します。一方、素数は1とその数自身以外では割り切れない数です。平方数は必ず正の整数になりますが、素数は2以外の偶数にはなりません。
- 平方数と素数を両方満たす数は存在するか？存在するならその数を挙げなさい。
- 解答: 存在しません。平方数は因数が3つ以上になるため、素数の定義に反します。
これらの問題を通じて、平方数と素数の特性をしっかりと理解し、中学受験対策に活用してください！
