初めに
こんにちは！そして初めまして！ 動物バナシの管理人、ユーイチです。
今回はつるかめ算について学んでいきましょう。
今回の学習の狙いは、
- つるかめ算の考え方を理解し、つるかめ算の問題を解く。
- 色々なタイプのつるかめ算の問題を解けるようになる。
この２つです。
それでは早速行ってみましょう。
つるかめ算
問題１
次の問いに答えなさい。
① 鶴と亀がいます。これらの頭の数の合計は６です。この時、右の表の空いている所を埋めて、表を完成させなさい。
② １個３０円のあめと１個５０円のガムを合わせて１０個買ったところ、代金の合計は３６０円でした。あめとガムをそれぞれ何個買いましたか。
問① 解き方
鶴と亀の数の合計は６なので、鶴の数を０とすると、亀の数は６です。鶴の数が１増えるごとに、亀の数は１減るので、ひょうの２行目の「亀の数」は右の表のようになります。
亀は１につき足は４本、鶴は１羽につき足は２本あります。アに当てはまる数は、かめ６匹の足なので、$$4×6＝24(本)・・・ア$$鶴が１羽増えると、亀は１匹減ります。
この時、足の数は鶴の足が２本増える・亀の足が４本減る・・・足の数の合計は$(4-2＝）$２本減る。と考えられるので、イの数はアの数よりも２小さくなります。$$24-2＝22(本)・・・イ$$
同様にして、亀１匹を鶴１羽に置き換えるごとに、足の数の合計は２ずつ減っていくので、下の表のようになります。
問② 解き方
１０個すべてガムを買った時を考えてから、飴に置き換えていきます。１０個すべてガムを買った時の代金は$$50×10＝500(円)$$
実際の代金との差は、$$500-360＝140(円)$$ガム１個を飴１個に置き換えるごとに代金は、$$50-30＝20(円)$$ずつ減っていくので、置き換える飴の個数（＝買った飴の個数）は、$$140÷20＝7(個)$$買ったガムの個数は、$$10-7＝3(個)$$
表を使った解き方
表にまとめながら解くと、次のようになります。
１０個すべてガムを買ったと考えて、ガムの個数を１０個、飴の個数を０個とすると、代金は$$50×10＝500(円)$$実際の代金との差は$$500-360＝140(円)・・・①$$
ガムを１個を飴に置き換えるごとに、代金は$(50-30＝）20$円ずつ減っていくので、代金の合計は、１列右に移る毎に２０円ずつ安くなります。・・・②
２０ずつ数を引いていき、全部で１４０となるのは、２０を、$$140÷20＝7(回)$$引いた時なので、飴の個数は７個です・・・③
ガムと飴の個数の合計は１０個なので、ガムの個数は、$$10-7＝3(個)・・・④$$
面積図を使った解き方
面積図を書いて解く事も出来ます。
代金は、１個あたりの値段×個数の式で表す事が出来るので、長方形の縦の長さを「１個あたりの値段」、横の長さを「個数」とすると、代金の合計は、この長方形の面積で表されます。
飴の代金とガムの代金を面積図で表し、並べて書くと、右の図のようになります。
それぞの長方形の横の長さ(BC、CF)はまだ分かりませんが、買った個数は合わせて１０個なので、横の長さの合計(BF)は１０個、この２つの長方形の合計の面積は３６０円です。
長方形HBFGの面積(＝すべてのガムを買った時の代金は、$$50×10＝500(円)$$なので、長方形HADEの面積（＝実際の代金との差）は、$$500-360＝140(円)$$
よって、$$140÷(50-30)＝7(個)・・・BCの長さ(＝飴の個数)$$
$$10-7＝3(個)・・・CFの長さ(＝ガムの個数)$$
数量が引かれるつるかめ算
問題２
クイズに答えて、正解すると３点もらえ、間違えると１点引かれます。たかし君はこのクイズに１０問答えました。これについて次の問いに答えなさい。
① １０問のうち、１問間違えると、点数は何点ですか。
② 点数が１８点だった時、たかし君は何問間違えましたか。
問① 解き方
正解した問題は、$$10-1＝9(問)$$
なので、正解でもらえる点数と、間違えて引かれる点数は、$$3×9＝27(点)・・・もらえる点数$$
$$1×1＝1(点)・・・引かれる点数$$
よって、たかし君の点数は、$$27-1＝26(点)
問② 解き方
１０問すべて正解した時の点数は、$$3×10＝30(点)$$なので、実際の点数との差は、$$30-18＝12(点)・・・①$$
ここで正解１問を間違えた１問に置き換えると、正解が１問減り、３点減る、間違いが１問増え、１点減る、$$3+1＝4(点)減る$$
間違いが１問増えるごとに、点数は４点ずつ減っていきます。・・・②
よって、間違えた問題の数は、$$12÷4＝3(問)$$
差のつるかめ算
問題３
１本５０円のえんぴつと１本１２０円のペンを合わせて３０本買ったところ、ペンだけの代金の方が、えんぴつだけの代金より１３９０円高くなりました。えんぴつを何本かいましたか。
解き方
３０本すべてペンを買ったとすると、ペンの代金とえんぴつの代金の差は、$120×30＝3600(円)$・・・ペンの代金、$50×0＝0(円)$・・・えんぴつの代金、$3600ー0＝3600(円)$
ペンの代金の方がえんぴつの代金よりも、１３９０円高かったので、実際の代金との差は、$$3600-1390＝2210(円)・・・①$$となります。
ここで、ペン１本をえんぴつ１本と置き換えると、
ペンの代金の合計は１２０円減る
えんぴつの代金の合計は５０円増える
代金の差は(120+50＝)１７０円減る
ペン１本をえんぴつ１本と置き換えるごとに、代金の差は１７０円ずつ減っていきます。・・・②
よって、置き換えたえんぴつの本数（＝買ったえんぴつの本数）は、$$2210÷170＝13(本)$$
割合のつるかめ算
たくみ君のクラスの４０人のうち、男子の$\frac{3}{8}$、女子の$\frac{1}{4}$の合わせて１３人が、春休みには山へ行きました。たくみ君のクラスには男子と女子がそれぞれ何人いますか。
割合についてはこちら
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面積図での解き方
これは面積図で考えることが出来るので、右のような面積図を作りましょう。
クラスの４０人がすべて男子だとすると、山へ行った人数は、$$40×\frac{3}{8}=15(人)・・・長方形ABFHの面積$$
山に行った人数は１３人なので、実際の人数との差は、$$15-13＝2(人)・・・長方形DEGHの面積$$
男子の$\frac{3}{8}ということは、男子が1人減ると、山に行った人数は$ \frac{3}{8}$ 人分減ります。同じように、女子の$ \frac{1}{4}$ということは、女子が１人増えると、山に行った人数は$\frac{1}{4}$人分増えます。
このため、男子１人を女子１人に置き換える毎に、山へ行った人数は、$$\frac{3}{8}-\frac{1}{4}=\frac{1}{8}(人)$$減っていきます。
よって、女子の人数は、$$2÷\frac{1}{8}=16(人)・・・CFの長さ$$
男子の人数は、$$40-16＝24(人)・・・BCの長さ$$
消去算での解き方
この問題は消去算でも解くことが出来ます。
消去算についてはこちらから
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男子の人数を⑧人とすると、山へ行った人数はその内の③人、女子の人数をⅣ人とすると、山に行ったのはその内のⅠ人です。
クラスの人数は４０人、山へ行った人数は１３人なので、次のように式に表します。
〇か▢の数量をそろえるために、山へ行った人数を表す式を４倍にして、四角の数をⅣに合わせます。$$⑧+Ⅳ＝40(人) → ⑧+Ⅳ＝40(人)$$
$$③+Ⅰ＝13(人) → ⑫+Ⅳ＝52$$
式の差を考えて、$$Ⅳ＝52-40＝12(人) → Ⅰ＝12÷4＝3(人)$$
男子の人数は、$$③＝3×8＝24(人)$$
女子の人数は、$$40-24＝16(人)$$
いかがだったでしょうか？今回は表や線分図や面積図、更に割合と消去算も混ざっての計算でした。その為、どの問題がどのやり方に対応しているかをしっかり理解していくと解きやすくなると思います。
沢山問題を解いて色々は出題パターンを覚えていきましょう！
それでは今回はここまで。 最後までお読みいただき ありがとうございました。
