初めに
こんにちは！そして初めまして！動物バナシの管理人のユーイチです。
今回は分数の割り算について説明していきます。
分数の掛け算の時にも言いましたが、分数の割り算も「何故そうなるか」を理解することがとても重要になると思います。ただ、掛け算の場合は「何故そうなるか？」というのが、イメージしやすかったのに対して、割り算はそのイメージがつきにくいです。
なので大体の人が解き方だけを憶えるようになってしまいます。正直な話、それだけでも問題は解けるのでやり方だけ覚えるというのは、効率的ではあります。
でも、理解を深め自分で使いこなせるようになる為には、どう考えるかも説明したいと思います。
それでは早速行ってみましょう。
分数と整数の割り算
問１ 基本問題
$\frac{3}{5}L$のジュースを２人に等しく分けると、1人分は何Lになりますか？
まずは整数や少数の場合と同じように、割り算の式を立てます。
$$\frac{3}{5}÷2$$
$\frac{3}{5}L$は、１Lを５等分した数($\frac{1}{5}$)を３個集めた数です。
５等分した１つ１つをそれぞれ２等分すると、$5×2=10$(個）により、１Ⅼが１０棟分されたことになります。
したがって、１人分は１Lを１０等分した数を３個集めた数になります。
$$\frac{3}{5}÷2=\frac{3}{5×2}=\frac{3}{10}(L)$$
このように、分数を整数で割る計算は、分子はそのままにして分母にその整数をかけます。
問２ 帯分数÷整数
$2\frac{1}{4}$ｍのリボンを、同じ長さに６本切り分けます。１っ本分の長さは何ｍですか。
これも割り算の式を立てますが、帯分数は仮分数に直して計算します。
$$2\frac{1}{4}÷6=\frac{9}{4}÷6=\frac{9}{4×6}=\frac{3}{4×2}=\frac{3}{8}(m)$$
掛け算の時と同じように、割り算でも、途中で約分が出来る時は約分してから計算します。
分数と分数の割り算
問１ 分数÷分数
次の棒の１mの長さを求めなさい。
$\frac{3}{4}m$の重さが$\frac{2}{3}kg$の棒
分数の中ではここがおそらく、一番理解がしがたい所だと思います。
もちろんやり方自体は簡単で、分数÷分数は分母と分子を逆にする逆数を行い、掛け算をすれば答えが出ます。
ただし、なぜそうなるかを理解しなければ、応用が利きません。
なので、ここでは出来るだけ単純に説明出来るように頑張ります。
$\frac{3}{4}m$の重さが$\frac{2}{3}kg$の棒を図に表します。
$\frac{3}{4}m$は、１ｍを４等分した長さ$(\frac{1}{4}m)$が３個また待った長さです。
この$\frac{3}{4}m$を３等分すれば、$\frac{1}{4}m$になります。
次にこの$\frac{1}{4}m$の棒の重さを求めるためには、$\frac{3}{4}m$の棒の重さ$\frac{2}{3}kg$を３等分します。
最後に１ｍは$\frac{1}{4}m$の４倍なので、$\frac{1}{4}m$の棒を４倍します。
そうすると、１ｍの重さは$\frac{8}{9}kg$と分かります。
これを一つの式で表すと、
$$\frac{2}{3}÷\frac{3}{4}=\frac{2}{3}÷3×4=\frac{2×4}{3×3}=\frac{8}{9}kg$$
となります。
つまり、３等分するから分母にかけ、４倍するから分子にかけてる訳です。
分数の割り算は「割る数を逆数にしてかける」だけですが、なぜそうするか、ちゃんと理由があるんです。
問２ 整数÷分数
次の棒１ｍの重さ求めなさい。
$\frac{2}{5}m$の重さが３㎏の棒
今度は整数÷分数の計算になります。
これは先程の分数÷分数とはイメージが少し変わるので混同しないようにしましょう。
まず「$\frac{5}{2}ｍ$は３㎏と同じ」と考えます。
まずは$\frac{1}{5}m$の時の重さを知りたいので、$\frac{2}{5}$を２等分します。
そうすると、$3÷2=\frac{3}{2}$となります。
これにより、$\frac{1}{5}m$の時の重さは$\frac{3}{2}kg$となります。
この$\frac{3}{2}kg$を５倍にすると、１ｍの時の重さが分かります。
図で見ると$\frac{3}{2}$が５個になると、$\frac{2}{2}$が７個あり$\frac{1}{2}$が１個あるのが分かります。
この一連の流れを式にすると、
$$3÷\frac{2}{5}=\frac{3}{1}÷2×5=\frac{3×5}{1×2}=\frac{15}{2}=7\frac{1}{2}kg$$
となります。
ここで注意したいのは、
分数÷分数は基本的に「１の枠の中」での計算
整数÷分数は「１の枠の外」での計算
となります。
まとめ
どうでしたか？
今回は分数の割り算についてでした。
今回の話をまとめると、
- 帯分数・仮分数に直して計算し、途中で約分できる時は約分をしてから計算する。
- 分数÷分数の計算の場合、分母と分子を入れ替えた逆数で計算を行う。$（\frac{B}{A}÷\frac{D}{C}=\frac{B×C}{A×D}）$
- 整数÷分数の場合、整数を$\frac{A}{1}$と表す。
こんな感じです。
それでは今回はここまで。
最後までお読みいただき ありがとうございました。
