初めに
こんにちは！そして初めまして！ 動物バナシの管理人のユーイチです。
今回は円周率を使った問題、特に円とおうぎの問題を解いていこうと思います。今回の学習の狙いとしては、
- 円の直径と円周の長さの関係を理解して、円周の長さを求められるようになる。
- おうぎの形の性質をりようし、弧の長さや中心角の大きさを求められるようになる。
- 円の面積の公式を利用して、円やおうぎ形の面積を求められるようになる。
- 円やおうぎ形と色々な形を組み合わせた図形の面積を求められるようになる。
これらを目指していきます。
それでは早速行ってみましょう。
今回使った問題はこちらからプリントアウトして使えます。
円周率と円周の長さ
問題１
次の問いに答えなさい。
① ある缶のふちの円周の長さを測る為に、缶に紐を巻き付けたところ、２２㎝になりました。この缶の直径の長さが７㎝の時、円周率はいくつになりますか。少数第３位を四捨五入して求めなさい。
② 直径が５㎝の円周の長さは何cmですか。円周率を３.１４として計算しなさい。
解き方のポイント
問① 解き方
直径に対する円周の長さの割合の値$(＝\frac{円周の長さ}{直径})$、つまり円周の長さが直径の長さの何倍にあたるかを表した値を、円周率と言います。$$\frac{22}{7}＝22÷7＝3.142… → 3.14$$
問② 解き方
円周率を３.１４としているので、直径の３.１４倍が円周の長さです。$$5×3.14＝15.7(cm)$$
3.14の計算
３.１４と１桁の数の積を暗記しておくと、２桁以上の計算の時に便利なので覚えておくと良いですね。
おうぎ形の中心角と弧の長さ
問題２
半径が４㎝で、中心角が９０度のおうぎ形があります。これについて、次の問いに答えなさい。ただし、円周率は３.１４とします。
① このおうぎ形のこの長さは何cmですか。
② このおうぎ形の周りの長さは何cmですか。
解き方のポイント
問１ 解き方
$$\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$$より、９０度は円の中心角３６０度の$\frac{1}{4}$です。したがって、弧の長さも円周の長さの$\frac{1}{4}$になります。
半径４㎝の円の直径の長さは８㎝なので、$$8×3.14×\frac{1}{4}=8×\frac{1}{4}×3.14＝2×3.14＝6.28(cm)$$
問② 解き方
このおうぎ形の周りの長さは、弧の長さに半径の長さを２つ分を足した長さになります。
$$6.28+4×2＝14.28(cm)$$
円に対するおうぎの割合
色々な図形の周りの長さ
問題３
次の図のように、正方形と円、半円、四分円を組み合わせました。影を付けた部分の周りの長さは何cmですか。ただし、円周率は３.１４とします。
問１ 解き方
半径８㎝四分円のこの長さと、直径８㎝の半円の弧のながさと、８㎝の辺の長さを合わせた長さになります。
$$8×2×3.14×\frac{1}{4}+8×3.14×\frac{1}{2}+8$$
$$=4×3.14+4×3.14+8$$
$$＝(4+4)×3.14+8$$
$$8×3.14+8$$
$$＝25.12+8$$
$$＝33.12$$
円周率の計算の工夫
円周率（３.１４）を掛ける計算が何度かある時は、分配の決まりを使うと、計算が簡単になります。
例$$3×3.14+5×3.14＝(3+5)×3.14＝8×3.14＝25.12$$
$$9×3.14-4×3.14＝(9-4)×3.14＝5×3.14＝15.7$$
問② 解き方
影を付けた部分の周りの長さを合わせると、円周の長さと正方形の周りの合わせた長さになります。
$$8×3.14+8×4$$$$＝25.12+32$$$$＝57.12(cm)$$
円とおうぎ形の面積（１）
問題４
次の図形の面積は何㎠ですか。ただし、円周率は３.１４とします。
① 半径が４㎝の円
② 半径が６㎝、中心角が１２０度のおうぎ形
円とおうぎ形の面積
右の図のように、円を細かく等分して形も大きさも同じおうぎ形に分け、並べ替えます。おうぎ形の中心角を小さくするほど、その形は長方形に近づいていきます。
したがって、円の面積は、縦が半径、横が円周の半分の長さの長方形の面積として考えることが出来ます。よって、$$円の面積＝半径×円周の半分の長さ$$$$＝半径×直径×円周率÷2$$
$$＝半径×半径×2×円周率÷2$$$$＝半径×半径×円周率$$となります。
問① 解き方
半径が４㎝の円の面積は、$$4×4×3.14＝50.24（㎠）$$
問② 解き方
弧の長さと同様に、中心角の割合からおうぎ形の面積が円の面積のどれだけにあたるかを考えます。$$\frac{120}{360}=\frac{1}{3}$$より、おうぎ形の面積は円の面積の$\frac{1}{3}$となります。
$$6×6×3.14×\frac{1}{3}＝12×3.14＝37.68(㎠)$$
円とおうぎ形の面積（２）
問題５
次の図で、影を付けた部分の面積は何㎠ですか。ただし、円周率は３.１４とします。
問① 解き方
影を付けた部分は、大きい円から小さい円を取り除いたものなので、大きい円の面積から小さい円の面積をひいて求めます。大きい円の直径は$(4+2)＝6㎝$、小さい円の直径は４㎝なので、半径はそれぞれ$(6÷2)＝3㎝$、$(4÷2)＝2㎝)$です。
影を付けた部分の面積は、$$3×3×3.14ー2×2×3.14$$$$＝9×3.14-4×3.14$$$$＝(9-4)×3.14$$$$＝5×3.14$$$$＝15.7(㎠)$$
問② 解き方
半円の面積とおうぎ形の面積を足して求められます。半円の半径は$(20÷2＝)10㎝$なので、影を付けた部分の面積は、
$$10×10×3.14×\frac{180}{360}+20×20×3.14×\frac{72}{360}$$$$=100×3.14×\frac{1}{2}+400×3.14×\frac{1}{5}$$$$=50×3.14+80×3.14$$$$=(50+80)×3.14$$$$=130×3.14$$$$＝408.2(㎠)$$
どうでしたか？今回は円周率を使った円と扇の問題でした。
少し難しいかもしれませんが、ここで紹介した解き方を参考に行っていけば類題問題は解けるようになると思います。
諦めずにすこしずつ理解していきましょう。
それでは今回はここまで。 最後までお読みいただき ありがとうございました。
