初めに
こんにちは！そして初めまして！ 動物バナシの管理人、ユーイチです。
今回は円と多角形について学んでいきたいと思います。
ここで学んでほしいのは、
- 円の半径を二つの辺とする三角形が二等辺三角形であることを利用して円の中心と円周上の点を結んで出来る図形の角度を求める。
- 多角形の対角線の数、内角や外角の大きさを求める。
- 多角形の内閣の和や外角の和を利用して、色々な多角形の角の大きさを求める。
この３つです。
今回使った問題をまとめたプリントです。
良かったら使ってみて下さい。
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それでは早速行ってみましょう！
半径と角
問題
右の図で、点$O$は円の中心、点$A・B・C$は円周上の点です。また、$BD$は円の直径です。これについて、次の問いに答えなさい。
① 角$x$の大きさは何度ですか。
② 角$y$の大きさは何度ですか。
③ 角$z$の大きさは何度ですか。
問１ 解き方
$ＯＡ、ＯＢ$は同じ円の半径なので、長さは等しくなっています。したがって、三角形$ＯＡＢ$は二等辺三角形で、角$ＯＡＢ$と角$ＯＢＡ$の大きさが等しく、どちらも３２度なので、
角$x=180-32×2=116$
問２ 解き方
$OB、OC$は同じ円の半径なので、長さは等しく、三角形$OBC$は二等辺三角形になります。
よって、角$OBC$と角$OCB$の大きさが等しいので、
角$y$=角$OBC=67-32=35$
外角の定理について
右の図の三角形$EFG$で、角$EFG$のように、三角形の内側にある角を三角形の内角、辺$FG$を伸ばした時に出来る角$EGH$のような角を三角形の外角と呼びます。
三角形の２つの内角の和は隣り合わない外角の大きさと等しくなります。
これを外角の定理と呼びます。
問３ 解き方
三角形$OBC$はともに、３５度なので、外角の定理により、
角$z=35+35=70$
円の中の三角形についての注意点
円の中心と円周上の２つの点を結んで出来る三角形は、二等辺三角形と正三角形になる。
右の図で、三角形$OAB$、三角形$OCD$は二等辺三角形、三角形$OEF$は正三角形。
多角形の内角と外角
問題
六角形について次の問いに答えなさい。
① 内角の和は何度ですか。
② 外角の和は何度ですか。
③ 正六角形の１つの外角と内角はそれぞれ何度ですか。
問１ 解き方
右の図のように、六角形を対角線で三角形に分けると、４個の三角形に分ける事が出来ます。
１つの三角形の内角の和は180°なので六角形の内角の和は、
$180×4=270$
多角形の内角の和
$N$角形は$(N-2)$個の三角形に分ける事が出来ます。よって$N$角形の内角の和は、
$180×(N-2)$
問２ 解き方
１つの内角と外角の和は必ず180°になるので、六角形の6ずつある内角と外角の和は、
$180×6=1080$
この内、720°は内角の和なので、六角形の外角の和は、
$1080-720=360$
多角形の外角の和
どんな多角形でも１つの内角の和と外角の和は必ず180°になるので、N角形の外角の和は、
$180×N-180×(N-2)$
$=180×2$
$=360$度
問３ 解き方
辺の長さが全て等しく、内角の大きさが全て等しい図形を、正多角形と言います。
どんな多角形でも外角の和は360度なので、六角形の外角の和も360度です。
正六角形の６つの外角の大きさは等しいので、一つの角の大きさは、
$360÷6＝60$
１つの内角と外角の和は必ず180度になるので、正六角形の一つの内角の大きさは、
$180-60=120$
問答３ 別解
①より、六角形の内角の和は720度なので、これを利用して、正六角形の一つの外角と内角の大きさを、次のように求める事も出来ます。
$720÷6=120$・・・内角
$180-120=60$・・・外角
正多角形の外角と内角について
正$N$角形の１つの外角＝$360÷N$
正$N$角形の１つの内角＝$180-360÷N$
正多角形と角
問題
右の図で五角形$ABCDE$は正五角形です。これについて、次の問いに答えなさい。
① 角$x$の大きさは何度ですか。
② 角$y$の大きさは何度ですか。
③ 角$z$の大きさは何度ですか。
問１ 解き方
正五角形の１つの内角なので、
角$x＝180×（5-2）÷5＝108$
問２ 解き方
三角形$CDE$は、$CD＝DE$の二等辺三角形なので、
角$y=(180－108)÷2＝36$
問２ 別解
三角形CDEの外角なので、
㋐＝$360÷5＝72$
角$y＝72÷2＝36$
問３ 解き方
三角形ABCと三角形ABEはどちらも、三角形CDEと同じ形の三角形なので、図の・を付けた角の大きさはどれも３６度になります。三角形ABFの外角を考えて、
角$z＝36+36＝72$
問３ 別解
辺BEと辺CDは平衡なので、角$z$と角FCDはさっ角で、大きさは等しくなります。また辺ACと辺DEも平行なので、角㋐と角FCDは同位角で大きさは等しくなります。
よって、角$z$＝角FCD＝角㋐＝$72$度
多角形の対角線
問題
六角形の対角線は何本ですか。
解き方
どの頂点も、その頂点自身と、隣り合った頂点の、合わせて３か所には対角線を引くことが出来ません。
よって、六角形の一つの頂点から引くことが出来る対角線の数は、
$6-3＝3$（本）
頂点は６つあるので、対角線は全部で、
$3×6＝18$（本）
しかし、これは１本の対角線を２回ずつ数えているので、実際の対角線は、
$18÷2＝9$（本）
多角形の対角線の数
$N$角形のの対角線の数＝$(N-3)×N÷2$
色々な多角形の角
問題
次の問いに答えなさい。
①図の$ｘ$の角の大きさは何度ですか。
② 図で、赤い角$A・B・C・D・E$の大きさの和は何度ですか。
問１ 解き方
右の図で、角$DEC$は三角形$ABE$の外角なので、
$72+36=108$（°）
角$x$は三角形$CDE$の外角なので、
$x=23+108=131$（°）
ブーメラン形の角の和
右の図で、
角㋓＝角㋐＋角㋑＋角㋒
このように、くぼみのある四角形では、くぼんだ部分の角の大きさは、四角形のとなり合わない内角の和と等しくなります。
問２ 解き方
①から、右の図の角zの大きさは、
角$z$＝角$A$＋角$B$＋角$C$
角$z$と角$y$は対頂角なので、
角$z$＝角$y$
よって、
角$A$+角$B$+角$C$+角$D$+角$E$
＝角$z$+角$D$+角$E$
＝角$y$+角$D$+角$E$
角$y$と角$D$と角$E$は、三角形$DEF$の内角なので、和は180度です。
よって、角$A・B・C・D・E$の大きさの和は180度です。
問２ 別解
右の図のように、点$B$と点$ C$を結んで考えます。
三角形$DEF $、三角形$BCF $の内角の和は、どちらも180度です。
右の図の●印の角は対頂角で等しいので、
角$ D$＋角$ E$＋角●＝角$ a$＋角$b$＋角●＝$ 180$
したがって、
角$ D$＋角$ E$＝角$ a$＋角$b$
また、三角形$ ABC$の内部の和は180度なので、
角$ A+$角$ B+$角$ C+$角$ D+$角$ E$
＝角$ A+$角$ B+$角$ a+$角$ ｂ$
＝$ 180$（°）
まとめ
どうでしたか？
どの問題も一見すると難しそうに見えますが、解き方がしっかりあるので、それを当てはめていけばちゃんと解けます！
今回の問題をまとめておいたのでよかったら活用してみてください。
それでは今回はここまで。 最後までお読みいただき ありがとうございました。
