【中学受験の植木算】
応用問題を解いてみよう。
問題プリント付き。

初めに

こんにちは!そして初めまして! 動物バナシの管理人、ユーイチです。

今回は植木算と周期算について説明していきたいと思います。

植木算とは等しい間画で木を植える時の木の数や間の長さに関する問題を植木算と言います。

今回の学習の目標は、

  • 等しい間画で気を植える時、木の数と間の数の関係に注目して植木算の問題を解く。
  • 決まりに従って並ぶ数字の列で、繰り返される周期を見つけ、周期算の問題を解く。
  • 1週間を1つの周期と考えて、周期が何回繰り返されてるかを調べ、曜日を求める。
  • テープを繋げる問題を、植木算の考え方と周期算の考え方で解く。

となります。

それでは早速行ってみましょう。

今回ここで使う問題をプリントにしてありますので、良かったら使ってみてください。

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植木算

問題

次の問いに答えなさい。

  1. まっすぐな道の片側に、10mおきに5本の木が植えてあります。この時、両端の木は何m離れていますか。
  2. 30m離れた2本の電柱の間に、まっすぐに6mおきに気を植えようと思います。木は何本必要ですか。
  3. 周りの長さが100mの池の周りに、20mおきに気を植えようと思います。木は何本必要ですか。

問1 解き方

図のように、まっすぐ気を植えるとき、木と木の間の数は、木の数よりも1少なくなるので、木と木の間の数は、

$5-1=4$(か所)

10mおきに植えるので、両端の木の間の長さは、

$10×4=40(m)$

$40m $

問2 解き方

6mおきに気を植えて、両端の電柱が30m離れているので、木と木の間、木と電柱の間の数は合わせて、

$ 30÷6=5$(か所)

なので、電柱と木は合わせて、

$ 5+1=6$(本)

木の数は、

$6-2=4 $(本)

$4 $本

問3 解き方

周りの長さが100mの池に、20mおきに気を植えるので、木と木の間の数は、

$ 100÷20=5$(か所)

池の周りに丸く木を植えているので、木の数は間の数と等しい5本になります。

$ 5$本

木の数と間の数の関係

まっすぐに気を植える時 ➡ 間の数$ =$木の数$-1 $

丸く気を植える時 ➡ 木の数$ =$間の数

色々な植木算

問題

長さが$ 7.2m$の木の棒を、$ 80㎝$ずつに切り分けます。1か所切るのに8分かかり、1回着るごとに5分ずつ休憩します。

これについて次の問いに答えなさい。

  1. 全部で何回切りましたか。
  2. 切り終わるまでに何時間何分かかりますか。

問1 解き方

$ 7.2m=720㎝$なので、$ 80㎝$ずつに切り分けると、

$ 720÷80=9$(本)

に切り分けられます。切る回数は本数よりも$ 1$少ないので、切る回数は、

$ 9-1=8$(本)

$ 8$回

問2 解き方

最後に切り終わった後は休憩しないので、休憩する回数は、切る回数よりも1回少なくなります。

$ 8-1=7$(回)

よって、かかる時間は全部で、

$ 8×8+5×7=99$分  ➡  1時間39分

1時間39分

数字が並んだ周期算

問題

$ 5÷39$を割り続けていった時の商について、次の問いに答えなさい。

  1. この商は、小数第1位からどのような数字が繰り返されていますか。1つの周期を答えなさい。
  2. この商の少数台100位の数字はいくつですか。

問1 解き方

$5÷39=0.128205128205128….$ 

となり、$ {1,2,8,2,0,5}$の6個の数字が繰り返されるので、1つの周期は$ {1,2,8,2,0,5}$です。

$ 1,2,8,2,0,5$

問2 解き方

1つの周期${1,2,8,2,0,5} $が、100番目までに何回繰り返されるかを考えると、

$ 100÷6=16$(回)あまり$ 4$(個)

となり、周期が16回繰り返され、その他に4個の数字が並んでいる事が分かります。

1つの周期を1段として縦に並べると、図のようなるので、100番目の数字は、周期の4番目の数字の2であることが分かります。

$ 2$

曜日を求める周期算

問題

ある年の7月4日は木曜日でした。これについて答えなさい。

  1. この年の9月20日は何曜日ですか。
  2. この年の5月27日は何曜日ですか。

問1 解き方

1週間は【月・火・水・木・金・土・日】の周期の繰り返しなので、曜日の求める問題は、周期算で解くことが出来ます。

1週間を1つの周期として、7月4日~9月20日までの間に、周期が何回繰り返されているかを考えます。7月4日~9月20日までの日数を求めると、

7月4日~7月31日 ・・・ $ 31-3=28$(日間)

7月4日から数えるので7月1日~3日の三日間を引く。

8月31日~8月31日 ・・・ 31日間

9月1日~9月20日 ・・・ 20日間

7月4日~9月20日 ・・・ $28+31+20=79 $(日間) 

➡ $79÷7=11 $(週間)あまり$2$(日)

1回目に当たる7月4日は木曜日なので、【木・金・土・日・月・火・水】を1つの周期と考えます。

9月20日は、周期の2日目なので金曜日です。

 金曜日

問2 解き方

5月27日から7月4日までの日数を求めると、

5月27日~5月31日 ・・・ $31-26=5 $(日間)

6月1日~6月30日 ・・・ 30日間

7月1日~7月4日 ・・・ 4日間

5月27日~7月4日 ・・・ $ 5+30+4=39$(日間)

➡ $ 39÷7=5$(週間)あまり$ 4$(日間)

ここで、7月4日の木曜日から曜日を逆に数えて、【木・水・火・月・日・土・金】を1つの周期と考えます。5月27日は、周期の4日目なので月曜日です。

月曜日

日数の計算

日数の計算をする時、1年や1カ月の日数を覚えておくことが大事です。

① 平年とうるう年

2月が28日までの年を平年、29日までの年をうるう年と言います。1年の日数は平年が365日、うるう年が366日です。

②大の月と小の月

1カ月が31日ある月を大の月、31日より少ない月を小の月と言います。

大の月・・・1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月

小の月・・・2月、4月、6月、9月、11月

色々な周期算

問題

1本の長さが12㎝のテープが沢山あります。これを、のりしろの長さをどこも同じにして、何本かつなぎます。これについて次の問いに答えなさい。

  1. のりしろの長さにして、テープを4本つなぐと、全体の長さは何cmになりますか。
  2. テープを10本つないだところ、全体の長さが84㎝になりました。1つののりしろの長さを何cmにしましたか。
  3. のりしろを2cmにして、テープを何本かつないだところ、全体の長さが112㎝になりました。テープを何本つなぎましたか。

問1 解き方

テープの始まりから次のテープの始まりまでを1つの周期と考え、最後のテープ12㎝はあまりと考えます。1つの周期の長さと、周期の回数は、それぞれ、

$ 12-3=9(㎠)$・・・一つの周期の長さ

$ 4-1=3$(回)・・・周期の回数

周期は3回繰り返され、余りが12㎝なので、つないだ長さの合計は、

$ 9×3+12=39(㎠)$

$ 39㎝$

問2 解き方

周期の回数と、あまり12㎝を除いた長さは、それぞれ

$10-1=9 $(回)・・・周期の回数

$ 84-12=72(cm)$・・・余りを除いた長さ

よって1つの周期の長さは、

$ 72÷9=8(cm)$

なので、1つののりしろの長さは、

$12-8=4(cm) $

$ 4㎝$

問2 別解

上記とは別に植木算の考え方を使って解くことも出来ます。

のりしろの数とのりしろの長さの合計は、それぞれ、

$ 10-1=9$(か所)・・・のりしろの数

$ 12×10-84=36(cm)$・・・のりしろの長さの合計

よって、1つののりしろの長さは、

$ 36÷9=4(cm)$

$ 4㎝$

問3 解き方

あまりの12cmを除いた長さは、

$ 112-12=100(cm)$

1つの周期の長さは、

$ 12-2=10(cm)$

よって、

$ 100÷10=10$(本)・・・余りの1本を除いた本数

$ 10+1=11$(本)・・・つないだテープの本数

$ 11$本

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