【中学受験の倍数と約数】
応用問題を解いてみよう。
問題プリント付き

初めに

こんにちは!そして初めまして! 動物バナシの管理人、ユーイチです。

今回は倍数と約数の応用問題です。

今回の目的は、

  • いくつかの整数の最小公倍数、最大公約数を連情報で求められるようになる。
  • 最小公倍数と最大公約数を利用して、いくつかの整数の公倍数・公約数を求められるようになる。
  • 最小公倍数、最大公約数を利用して、いろいろな問題を解けるようになる。

の3つになります。

それでは行ってみましょう。

応用問題に入る前に約数と倍数の復習をしたい方はこちらです。

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公倍数と公約数

問題

次の問いに答えなさい。

① 26と60の公倍数を小さい順に3個求めなさい。

② 36と54の公約数を全て求めなさい。

③ 12と18と48の最小公倍数と最大公約数を求めなさい。

問1 解き方

ある整数を1倍・2倍・3倍・・・のように整数を倍にした数の事をその整数の倍数と言います。

また、2つ以上の整数に共通する倍数をそれらの整数の公倍数と呼びます。

公倍数を求めるには、まず公倍数の内の最も小さい倍数(最小公倍数)を求めます。

連除法での最小公倍数の求め方

  1. 24と60を横に並べ、どちらも割り切れる整数で割る。
  2. その商を、同じようにどちらも割り切れる整数で割り、割り切れる整数がなくなるまで続ける。
  3. 割った整数と最後に残った商を全てかけた積が最小公倍数となる。

公倍数は最小公倍数の倍数となるので、小さい方から2番目・3番目の公倍数は、

$120×2=240$    $120×3=360$

  $120$     $240$     $360$

問2 解き方

ある整数を割り切ることが出来る整数を、その整数の約数と言います。

2つ以上の整数に共通する約数をそれらの整数の公約数と呼びます。

公約数を求めるには、まず公約数の内の最も大きい約数を(最大公約数)を求めます。

連除法での最大公約数の求め方

  1. 36と54を横に並べ、どちらも割り切れる整数で割る。
  2. その商を、同じようにどちらも割り切れる整数で割り、割り切れなくなるまで続ける。
  3. 割った整数を全てかけた積が最大公約数となる。

公約数は最大公約数の約数となるので、次のように、18を2つの積で表した時のそれぞれの数が36と54の公約数です。

$18=1×18=2×9=3×6$

 $1$  $2$  $3$  $5$  $9$   $18$

問3 解き方

これは連除法で考えます。

3つの数の最小公倍数の求め方に注意して下さい。

  1. 3つの商の全てを割り切れる整数が無くなっても、2つの商を割り切れる整数があれば、その整数で割り、割り切れない整数はそのまま下におろす。
  2. 2つの商を割り切れる整数が無くなったら、割った整数と最後に残った商を全てかけた積が最小公倍数となる。

最大公約数・・・$2×3=6$

最小公倍数・・・$2×3×2×1×3×4=144$

 最大公約数・・・$6$   最小公倍数・・・$144$

約数に関する問題

問題

次の問いに答えなさい。

① 22を割ると4余る整数を全部求めなさい。

② 27を割ると3余り、34を割ると2余る整数を全部求めなさい。

問1 解き方

$22$を割ると$4$余る整数は$22-4=18$より、$18$を割ると割り切れる整数です。

よって、まず$18$の約数を求めます。

$18$を2つの整数の積で表すと、

$18=1×18=2×9=3×6$なので、$18$の約数は、$[ 1 2 3 6 9 18 ]$です。

ここで、$4$余る為には$4$より大きい整数でないといけません。

よって、求める整数は、$18$の約数の内$4$より大きい整数なので、$[ 6 9 18 ]$の3個です。

$6$  $9$   $18$

問2 解き方

27を割ると3余る整数は、$(27-3=)24$の約数の内、3より大きい整数です。

34を割ると2余る整数は、$(34-2=)32$の約数の内、2より大きい整数です。

よって、求める整数は24と32の公約数の内、3より大きい整数です。

右の連除法より、24と32の最大公約数は、

$2×2×2=8$

8を2つの整数の積で表すと、$8=1×8=2×4$なので、8の約数は、$[ 1 2 4 8 ]$です。

求める整数は、この内3より大きい数なので、$[ 4 8 ]$の2個です。

$ 4 8 $

倍数に関する問題①(余りが等しい)

問題

6

で割っても、9で割っても2余る整数について、次の問いに答えなさい。

① このような数を小さい順に3個求めなさい。

② 小さい方から15番目の数を求めなさい。

問1 解き方

6で割ると2余る整数は、2と6の倍数より2大きい整数です。

9で割ると2余る整数は、2と9の倍数より2大きい整数です。

よって、求める数は2と6と9の公倍数より2大きい整数です。

連除法により6と9の最小公倍数は、

$3×2×3=18$

$ 2 2+18=20 20+18=38 $より、求める数は、$[ 2 20 38 ]$です。

$ 2 20 38 $

問2 解き方

求める数は2から始まり18ずつ増えていくので、小さい順に並べると、まじめの数が2で18ずつ増える等差数列になります。

よって15番目の数は、$2+18×(15-1)=254$となります。

$ 254 $

倍数に関する問題②(割る数と余りの差が等しい)

問題

8で割ると5余り、12で割ると9余る整数を小さい順に並べます。これについて、次の問いに答えなさい。

① 最も小さい数を求めなさい。

② 1番目の数から10番目の数までの和を求めなさい。

問1 解き方

8で割ると5余る整数は、あと$(8-5=)3$大きくすると8の倍数になるので、8の倍数よりも3小さい整数です。

12で割ると9余る整数は、あと$(12-9=)3$大きくすると12の倍数になるので、12の倍数より3小さい整数です。

どちらもそれぞれの倍数より3小さい数なので、求める数は8と12の公倍数より3小さい整数と分かります。

連除法より、8と12の最小公倍数は、

$2×2×2×3=24$

なので、最も小さい数は

$24-3=21$となります。

$ 21 $

問2 解き方

求める数は、21から始まり24ずつ増えていくので、小さい順に並べると、始めの数が21で24ずつ増える等差数列となります。

よって、10番目の数は、$21+24×(10-1)=237$

1番目の数から10番目の数までの和は、$(21+237)×10÷2=1290$となります。

$  1290 $

倍数に関する問題③(共通無し)

問題

3で割ると1余り、5で割ると2余る整数を小さい順に左から並べます。これについて、次の問いに答えなさい。

① 1番目の数を求めなさい。

② 5番目の数を求めなさい。

③  このような数のうち、500に最も近い整数を求めなさい。

この問題文の形は、一見すると難しそうですが、ちゃんと法則があります。

■で割ると▲あまり、▢で割ると△余る整数の場合、■と▢の最小公倍数ずつ増える等差数列となります。

問1 解き方

3で割ると1余る整数を小さい順に左から並べると、
$1・4・7・10・13・16・19・22・25・28・31・34・37・40・・・$

となり、始めの数が余りの1で、割る数の3ずつ増える等差数列になります。

5で割ると2余る整数を小さい順に左から並べると、

$2 7 12 17 22 27 32 37 42 47・・・$

となり、始めの数があまりの2で、割る数の5ずつ増える等差数列になります。

上の2つの数列に共通する1番目の数は、7です。

$7$

問2 解き方

上の2つの数列に共通する整数を小さい順に並べると、

$7 22 37・・・$

となり、始めの数が7で、3と5の最小公倍数の15ずつ増える等差数列となります。

よって、5番目の数は、

$7+15×(5-1)=67$

$67$

問3 解き方

子の数列は15ずつ増える等差数列なので、まず500の中に15が何個含まれるのかを調べます。

$500÷15=33あまり5$

子の数列の小さい方から33番目の数は、

$7+15×(33-1)=487$

34番目の数は、33番目の数よりも15大きいので、

よって、500に最も近いのは502です。

$502$

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