こんにちは！そして初めまして！
動物バナシの管理人、ユーイチです。
今回は約数と公約数について学んでいきたいと思います。
今回の目的として、
- 約数の意味を理解し、約数を求める事が出来る。
- 公約数、最大公約数の意味を理解し、公約数・最大公約数を求めることが出来る。
- 素数の意味を理解する。
この３つになります。
約数は、以前に話した倍数と似ているので合わせて読んでおくといいと思います。
倍数・公倍数はこちらから
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それでは早速行ってみましょう。
約数の意味を理解しよう
問題
１８と２４の約数を全て求めなさい。
ある整数を割り切ることが出来る整数を、その整数の約数と言います。
例えば１８の場合、
$１８÷３＝６$
のように、３は１８を割り切れることが出来るので３は１８の約数になります。
この時に
$１８÷６＝３$
のように、割る数の３と商のを入れ替えた時の式も成立しますよね？
こうなると６も１８の約数である事が分かります。
$１８×３＝６$なので、１８の約数は、積（掛け算の答え）が１８となる整数を考えると見つけやすくなります。
この時に注意が必要なのは、掛けられる数と掛ける数を入れ替えた掛け算は同じ式と考えます。
では、１８と２４をそれぞれ２つの整数の積を右に表してみました。
これにより、
１８の約数は$｛１，２，３，６，９，１８｝$
の６個
２４の約数は$｛１，２，３，４，６，８，１２，２４｝$
の８個になります。
公約数と最大公約数を理解しよう
問題
１８と２４の公約数と最大公約数を求めなさい。
２つ以上の整数に共通する約数を、公約数と言います。
その内の最も大きい公約数を最大公約数と言います。
先程の図をもう一度見てみましょう。
図により、$｛１，２，３，６｝$が共通しています。
これにより、１８と２４の公約数は$｛１，２，３，６｝$の４個になります。
またこの内、一番大きな数は６なので、最大公約数は６になります。
最大公約数の時の連除法
問題
３６と６０の最大公約数を求めなさい。また、３６と６０の公約数を全て求めなさい。
今から使う連除法は最大公約数を簡単に見つけられる方法です。
これを知っていれば、最大公約数はもちろん最小公倍数もすぐに見つけられる、とても便利なやり方です。
ぜひ覚えて下さい。
３６と６０の最大公約数を連除法で求めてみましょう。
右の図のように３６と６０を横に並べて、どちらも割り切れる整数で割り算をしていきます。
その商を、同じようにどちらも割り切れる整数で割り、それが出来なくなるまで続けます。
最後に割った整数を全てかけた積が最大公約数になります。
右の連除法から、３０と６０の最大公約数は、
$２×２×３＝１２$
となります。
また、公約数は最大公約数の約数と等しいので、３０と６０の公約数は１２の約数と等しくなります。
つまり、
＄１２＝１×１２$
$ ＝２×６$
$ ＝３×４$
となります。
これにより、３６と６０の公約数は
$｛１，２、３，４，６，１２｝$の６個になります。
３つの数の連除法（約数）
問題
１２と２４と３０の最大公約数を求めなさい。
１２と２４と３０の３つの整数の最大公約数を連除法で求める時も、２つの整数の最大公約数を求める時と同様に考えていきます。
ただし、最小公倍数の時とは違い、２つの商を割り切れる整数があったとしても続けません。
最小公倍数の時は２つの商が割り切れる場合は、割れない商はそのままにして続けました。
これを混同しないようにしましょう。
そして右の連除法から、１２，２４，３０の最大公約数は、
$２×３＝６$
となります。
素数を理解しよう ①
問題
７の約数は何個ありますか。
７を２つの整数の積で表すと、
$７＝１×７$
になります。
つまり約数は$｛１，７｝$の２個です。
この様に、１とその整数自身は必ずその整数の約数になってしまいます。
１とその整数自身の２個しか約数を持たない整数の事を素数（そすう）と呼びます。
ここで注意して欲しいのが１は素数にはならないという事です。
１の約数は１のみなので、約数は１個しかありません。
繰り返しますが、素数とは約数が１とその整数の２つのみの数字の事です。
素数を理解しよう ②
問題
１から３０までの整数の内、素数は全部で何個ありますか。
素数を見つけるには、数を１から順に並べて、次のように考えていきます。
まずは先ほども言った通り、１は素数ではないので１を消します。
２は素数なので２は残し、２より大きい２の倍数を消します。
次に３も素数になるので３を残し、３より大きい３の倍数を消していきます。
これを残っている数にも、その数より大きいその倍数を消していきます。
（実は面白い事ですが１００までの整数なら、この方法で素数を見つけていくと７の倍数まで消すと、すべての素数が見つかります。）
１から３０までの整数について、このように調べると右の図のように、$２，３，４，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９$が残ります。
つまり１から３０までの素数は、この１０個の整数になります。
まとめ
どうでしたか？
今回の話をまとめると・・・
約数とはある整数を割り切ることが出来る整数を、その整数の約数と言う。
公約数とは、２つ以上の整数に共通する約数の事。
また最大公約数とは、最も大きい整数を最大公約数と呼ぶ。
素数とは約数が１とその整数自身の２つしかない整数の事をいう。
こんな感じです。
それでは今回はここまで。
最後までお読みいただき
ありがとうございました。
