【中学受験の算数】
消去算と代入算の応用問題を解いてみよう。
問題プリント付き

初めに

こんにちは!そして初めまして! 動物バナシの管理人、ユーイチです。

今回の学習テーマは消去算と代入算です。

今回の学習のねらいは、

  • 2つの数量がそれぞれいくつかあり、一方の数量を消去して、その2つの数量を求めることが出来る。(消去算)
  • 2つの数量があり、一方の数量を他方の数量に置き換えて、その2つの数量を求めることが出来る。(代入算)

この2つになります。

この消去算と代入算は、途中式をしっかり記しておく事が必要です。これをやらないと、途中で理解し辛くなる事が多くなる気がします。つまり、消去算と代入算は途中式を理解する事が一番大切だという事です。

それでは早速行ってみましょう。

問題プリント

消去算1

問題1

リンゴ2個とミカン5個を買うと、代金は640円です。また、リンゴ2個とミカン3個を買うと、代金は840円です。リンゴ1個とミカン1個の値段は、それぞれ何円ですか?

解き方

リンゴの個数が等しいので、全体の金額の差はミカンの金額の差と等しくなります。「リンゴ2個とミカン5個」と「リンゴ2個とミカン3個」の差はミカン2個分なので、全体の金額の差は、ミカン2個分の金額です。

図に表すと、右の図のようになります。これを、リンゴ1個の値段を㋷円、ミカン1個の値段を㋯円として指揮に表すと、図2のようになります。

$ ㋯×2=160$円

$ ㋯=160÷2=80$円・・・・ミカン1個

リンゴ2個とミカン3個で480円なので、ミカン3個の金額を求めてから、リンゴ1個の値段を求めていきます。

$ 80×3=240$円

$480-240=240$円・・・リンゴ2個

よって、リンゴ1個の値段は、

$240÷2=120$円

 リンゴ・・・120円  みかん・・・80円
このように、一方の数量(リンゴの値段)を消去することで、もう一方の数量(ミカンの値段)を求める問題を、消去算といいます。

消去算2

問題2

赤い球2個と青い球3個の重さの合計は160gです。また、赤い球3個と青い球2個の重さの合計は190gです。赤い球1個と青い球1個の重さは、それぞれ何gですか。

解き方

赤い球1個の重さを■g、青い球1個の重さ▲gとして、下のように式に表していきます。赤い球の個数も青い球の個数も違うので、このままでは一方の数量を消去することが出来ません。度tらかの個数をそろえるために、赤い球の個数を、2と3の最小公倍数の6個にする事を考えます

$■×2+▲×3=160g$  3倍→  $■×6+▲×9=480g$

$■×3+▲×2=190g$  2倍→  $■×6+▲×4=380g$

赤い球2個と青い球3個を3組集めると、「赤い球6個と青い球9個」になり、重さは、$160×3=480g$となります。

また、「赤い球3個と青い球2個」を2組集めると、「赤い球6個と青い球4個」になり、重さは$190×2=380gとなります。$

赤い球の個数がそろったので、重さの差は、青い球$(9-4=)5$個分になります。

$▲×5=480-380=100g$

$▲=100÷5=20g$・・・青い球1個

160gから青い球3個分の重さを引くと、

$160-20×3=100g$・・・赤い球2個

$100÷2=50g$・・・赤い球1個

赤い球・・・50g   青い球・・・20g
赤い球の個数を、3と2の最小公倍数の6個にして解くことも出来ます。

倍数の問題についてはこちらをどうぞ

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代入算1

問題3

ノート3冊と本1冊を買うと、代金は640円でした。本1冊の値段はノート1冊のねだんの5倍です。ノート1冊と本1冊の値段は、それぞれ何円ですか。

解き方

ノート1冊の値段を㋨円、本1冊の値段を㋭円として、式に表すと、右のようになります。

本1冊の値段がノート5冊分の代金と等しいので、これらを置き換えて考えます。

$㋨×3+㋭×1=640$円

$㋨×3+㋭×5=640$円

ノート3冊とノート5冊を合わせるとノート8冊なので、

$㋨×8=640$円

$㋨=640÷8=80$円・・・ノート1冊

本1冊の値段は、ノート1冊の値段の5倍なので、

$800×5=400$円・・・本1冊

 ノート・・・80円   本・・・400円
このように、一方の数量(本1冊の代金)を、他方の数量(ノート5冊の代金)に置き換えて2つの数量を求める問題を代入算と呼びます。

代入算2

問題4

2種類の重りA、Bがあります。A4個とB5個の重さは175gです。A2個の重さは、B3個の重さよりも5g重くなっています。重りA、B1個の重さは、それぞれ何gですか。

解き方

A1個の重さをAg、B1個の重さをBgとして、右のように式に表します。

そして、Aの重りをBの重りに置き換えるとこを考えます。

$A×2=B×3+5$

この式をもう1組作ると考えて、「=」の左と右をどちらも2倍します。

$A×4=B×6+10$

これを、1つ目の式の$A×4$と置き換えると、

$ A×4+B×5=175g$

$B×6+10+B×5=175g$

B6個とB5個を合わせるとB11個なので、

$B×11+10=175g$

$B×11=175-10=165g$

$B=165÷11=15g$・・・B1個

A2個の重さは、B3個の重さよりも5g重いので、

$15×3+5=50g$・・・A2個

$50÷2=25$・・・A1個

 A・・・25g    B・・・15g

3つの数の消去算

問題5

3種類の鉛筆A、B、Cがあります。AとBの鉛筆を1本ずつ買うと代金は145円、BとCの鉛筆を1本ずつ買うと代金は100円、AとCの鉛筆を1本ずつ買うと代金は115円です。A、B、Cの鉛筆1本ずつの値段は、それぞれ何本ですか?

解き方

右のように、3つの買い方の代金を合わせると、A、B、Cの鉛筆を2本ずつ買う事になります。

よって代金はA、B、Cの鉛筆の2本ずつの代金は、

$145+100+115=360$円

すべて2本ずつ買っているので、この代金を2で割れば、A、B、Cの鉛筆の1本ずつの代金になります。

$360÷2=180$円

A、B、Cの鉛筆1本ずつの代金の合計が180円で、BとC1本ずつの代金の合計が100円なので、A1本の値段は、

$180-100=80$円・・・A

同じように考えて、B、C1本の値段それぞれ、

$180-115=65$円・・・B

$180-145=35$円・・・C

 A・・・80円  B・・・65円  C・・・35円

吊り合った天秤

問題6

〇、▢、△の3種類のおもりがあります。右の図1,2のように、これらのおもりを天秤にのせると吊り合います。これについて、次の問いに答えなさい。

① △のおもり1個は、〇のおもり何個と吊り合いますか。

② △のおもりの重さを調べると、75gでした。▢のおもり1個の重さは何gですか。

図1

図2

問① 解き方

天秤で吊り合っているおもりの個数の関係から、▢、△のおもりが〇何個分の重さかわ順に考えていきます。

図2より、△のおもり1個の重さは、〇のおもり1個と▢のおもり2個を合わせた重さと等しい事が分かります。

図1より▢のおもり1個の重さは、〇のおもり2個の重さと等しいので、右のように、▢を〇2個に置き換えます。

よって、△のおもり1個の重さは、〇のおもりの、

$ 1+2×2=5$個分

 5個

問② 解き方

①より、〇のおもり5個の重さが75gなので、

$ 75÷5=15g$・・・〇 1個

▢のおもり1個の重さは、〇のおもり2個分の重さなので、

$ 15×2=30g$

 30g

天秤の問題にはこういうものもあります。

関連記事

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 天秤の応用問題はこちら

どうでしたか?今回は消去算と代入算についてでした。

最初にもお伝えしましたが、消去算と代入算を解くコツは途中式を書いていく事です。たとえ問題文に色々な数字が書いてあったとしても、一つずつまとめていくと、迷わず問題が解けていくと思います。後は、似たような問題を沢山解いて慣れていけば大丈夫です。

算数はひらめきで解くわけじゃなく、しっかりとその問題の解き方を暗記して解くものです。その為、最初は答えを丸暗記でもいいので解き方をしっかりと覚えていきましょう!

それでは今回はここまで。 最後までお読みいただき ありがとうございました。

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