三角形の面積。
応用問題も分かりやすく解説。
【算数小学４年生】

問題

右の図で、四角形ABCDは長方形です。

三角形ABEの面積は３６㎠です。

これについて次の問いに答えなさい。

①　辺ABの長さは何ｃｍですか？

②　三角形AECの面積は何㎠ですか？

③　DFの長さは何㎝ですか？

こういう問題を見ると、一気に難易度が上がった気がしますが、落ち着いて一つ一つを見ていくと基礎の積み重ねでちゃんと解けるので安心して下さい。

①の辺ABの長さは何ｃｍですか？

この問題は、三角形ABEの底辺をBEとすると、高さはABです。ABの高さを$ｘ$とすると、

$６×ｘ÷２＝３６$

　　　$ｘ＝３６×２÷６$

　　　$ｘ＝１２（ｃｍ）$

となります。

②三角形AECの面積は何㎠ですか？

この問題は、底辺をECとすると、高さはABになります。

そうすると面積は、

$１０×１２÷２＝６０（㎠）$

となります。

③DFの長さは何ｃｍですか？

この問題は、三角形ACDで、底辺をADとすると高さはCDです。

$AB=BC=(6＋１０＝）１６ｃｍ$

$CD=AB=12ｃｍ$

これにより、面積は

$１６×１２÷２＝９６（㎠）$

となります。

次に、この三角形ACDで、底辺をACとすると高さはDFなので、DFの長さを$ｙ$とすると、

$２０×ｙ÷２＝９６$

　　　　$ｙ＝９６×２÷２０$

　　　　　$＝９.６（㎝）$

となります。

問題

右の図の三角形の面積は何㎠ですか？

三角形ABCで、６ｃｍの辺ＢＣを底辺とすると、高さは右の図のＡＤになります。

この時、三角形ABDと三角形ACDはどちらも、三つの角の大きさが$９０度、４５度、４５度$の三角定規の形（直角二等辺三角形）になっています。

その為、AD・BD・CDの長さは全て等しく、$（６÷２＝）$３㎝になります。

よって三角形のABCの面積は

$６×３÷２＝９（㎠）$

となります。

問題

次の三角形の面積を求めなさい。

3つの角の大きさが$９０度・６０度・３０度$の三角定規の形は、正三角形をちょうど半分にした形です。

右の図のように、最も短い辺の長さは、最も長い辺の長さの半分になります。

三角形ABCで、２０㎝の辺BCを底辺とすると、高さは右の図のADになります。

この時、三角形ABDは３つの角の大きさが$９０度・６０度・３０度$の三角定規の形なので、ADの長さはABの長さの半分になります。

$１８÷２＝９（ｃｍ）$＝ADの長さ

これにより、三角形ABCの面積は

$２０×９÷２＝９０（㎠）$

となります。

ではここで応用問題をやってみましょう。

少し難しいかもしれませんが、頑張ってみましょう。

問題

右の図のような四角形ABCDがあり、ABとADの長さは等しくなっています。これについて次の問いに答えなさい。

①　BCの長さが12㎝の時、四角形ABCDの面積は何㎠ですか？

②　ABの長さが8㎝の時、四角形ABCDの面積は何㎠ですか？

問①

問①では、まず直線BDを引きます。

そうすると三角形ABDが出来ます。

この三角形ABDは直角二等辺三角形なので、角ABDの大きさは45度になります。

これにより、

$７５－４５＝３０（度）$・・・・角DBC

$１８０－（３０+７５）＝７５（度）$・・・・角CDB

となります。

その為、三角形BCDは、1つの角が３０度の二等辺三角形になります。

右の図の三角形DBEは正三角形の半分の形です。

DEの長さは、

$１２÷２＝６（㎝）$

になり、

三角形BCDの面積は、

$１２×６÷２＝３６（㎠）$

となります。

正三角形ABDを４つ集めると、１辺が１２ｃｍの正方形になります。

三角形ABDの面積は、

$１２×１２÷４＝３６（㎠）

となり、

四角形ABCDの面積は、

$３６+３６＝７２（㎠）$

となります。

問②

問②では、三角形ABDの面積は

$８×８÷２＝３２（㎠）$

また、BDの長さを$ｘｃｍ$とすると、三角形ＡＢＤは直角二等辺三角形ので、同じ三角形を４つ集めると、１辺が$ｘｃｍ$の正方形になります。

これにより、

$Ｘ×Ｘ÷４＝３２$ → $X×X＝３２×４＝１２８$

と表せます。

三角形BDEは正三角形の半分の形なので、DEの長さは$（X÷２）㎝$です。

よって、三角形BDCの面積は、

$X×（X÷２）÷２＝X×X÷４$

と表すことが出来ます。

ここで$X×X＝１２８$より、三角形DBCの面積は、

$１２８÷４＝３２(㎠）$

となります。

よって、四角形ABCDの面積は、

＄３２+３２＝６４（㎠）$

となります。